Sendmailが使えないサーバでメールを送信できますか？

難しいと思われます。

CGIからメール送信するには、Sendmailまたは、Sendmail代替プログラムが必要です。Sendmailが使えない場合にはメール送信できませんので、ご了承ください。

メールフォームなど設置を予定されている方は、Sendmail利用可能なサーバが必要になります。